Para poder alojar imágenes .webp en el servidor, debes usar un plugin de terceros que permita mostrar imágenes .webp en los navegadores como Chrome y a su vez muestre la misma imagen pero en .png o .jpg en navegadores que no soportan el formato .webp, como Firefox.
Además estos plugins crean unas reglas en el archivo .htaccess que son necesarias para el correcto funcionamiento de las imágenes .webp.
Si tu web está desarrollada con WordPress, el plugin de LiteSpeed Caché incluye la opción de convertir imágenes a .webp.
Para otros gestores de contenidos deberás buscar un plugin que realice la conversión.