Si quieres cambiar el nombre de dominio de tu tienda PrestaShop por otro dominio distinto, puedes solicitarlo a través de un ticket de soporte. El cambio del dominio del hosting lo tiene que hacer un administrador del servidor ya que como usuario cliente no se tienen dichos permisos.
Una vez que realicemos el cambio a nivel de servidor, hay varias cosas a tener en cuenta:
1) Pierdes todo el posicionamiento que puedas tener en Google. Si es una tienda nueva no hay problema pero si ya está indexada en los resultados de búsqueda habría que hacer una redirección 301 del antiguo dominio al nuevo para evitar perder el posicionamiento.
2) Al cambiar el dominio en el hosting hay que modificar los parámetros de la tabla shop_url de PrestaShop. Esto hay que hacerlo a mano editando la tabla desde la herramienta PhpMyAdmin de cPanel.
3) Además, para asegurarse que todas las direcciones antiguas de la tienda se cambian por la nueva hay que exportar la tabla desde PhpMyadmin en formato .sql y sustituir con algún editor de código (PsPad por ejemplo) las cadenas antiguas "actualdominio.com" por las nuevas "nuevodominio.com".
Luego hay que guardar ese archivo sql con los cambios realizados e importarlo de nuevo PhpMyAdmin para sustituir la antigua base de datos.
4) Hay que entrar en la administración, limpiar la caché de PrestaShop y cambiar los valores de urls amigables y SEO y URLs para guardar la nueva dirección.
Antes de hacer todo esto debes asegurarte que el nuevo dominio ya apunta a nuestros DNS.
Realizando todos estos pasos, ya tendrás la tienda funcionando con el nuevo dominio.